Frattali: dal Caos all'ordine, la geometria universale

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Il matematico francese Benoit Mandelbrom ebbe sempre interesse per la "rugosità" del mondo. Guardando il mondo egli aveva notato che molti aspetti erano irregolari e frammentati: dalle rive costiere, ai profili delle montagne, al percorso di un fiume, la forma di una nuvola, o quella di una fiamma, fino alla forma delle galassie, insomma tutto l'universo era permeato da una rugosità che lui sentiva aspirasse a diventare "bellezza". Da quella spinta interiore nacque la "teoria della rugosità" che sarebbe poi diventata la "geometria frattale". Mandelbrot ne parla nella sua autobiografia "La formula della bellezza", in cui riassume la sua vita alla ricerca di ciò che lo ha spinto a generare la matematica dei frattali che spiega il caos del mondo, anzi, dell'intero universo. Si considera frattale una figura che gode delle seguenti proprietà: (1) Autosimilarità: il frattale è unione di copie di se stesso a scale differenti; (2) Struttura fine: le strutture ripetute più ampie, mostrano i dettagli di quelle più piccole; (3) Dimensione non intera: anche se possiamo rappresentare un frattale in un piano o in uno spazio convenzionale a due o tre dimensioni, la sua dimensione non è intera ma frazionaria. La proprietà che caratterizza i frattali è la cosiddetta “dimensione frazionaria” che si oppone a quella intera, tipica delle figure piane e dei solidi della geometria euclidea (come triangoli, quadrati, rettangoli, parallelepipedi, cilindri ecc..). Partiamo da “dimensione” ma sappiamo che, in geometria, si dice che un segmento ha una sola dimensione, un piano due dimensioni, mentre un solido ne ha tre. Come si aggiunge il concetto di “frazionaria”? Un frattale funziona più o meno così: si parte da una figura nella sua totalità e continuamente si riproduce una struttura che la replichi, per farlo la si suddivide in un numero di parti che corrisponde a una potenza e tutte le parti sono sempre uguali tra loro. Wikipedia scrive (10/8/25): "Un frattale è quindi un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, e dunque ingrandendo una qualunque sua parte si ottiene una figura simile all'originale. Si dice quindi geometria frattale, la geometria (non euclidea) che studia queste strutture, ricorrenti ad esempio nella progettazione ingegneristica di reti, nel moto browniano e nelle galassie."

La rugosità dell'Universo mostra la sua natura caotica che la geometria frattale spiega e armonizza

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COSCIENZA E FRATTALI: Il nostro cervello è composto da cellule chiamate neuroni e si ritiene che la loro attività combinata generi la coscienza. Ogni neurone contiene microtubuli, che trasportano sostanze a diverse parti della cellula. La teoria di Penrose-Hameroff della coscienza quantistica sostiene che i microtubuli sono strutturati in uno schema frattale che consentirebbe il verificarsi di processi quantistici. I frattali sono strutture che non sono né bidimensionali né tridimensionali, ma sono invece valori frazionari intermedi. In matematica, i frattali emergono come bellissimi schemi che si ripetono all’infinito, generando ciò che è apparentemente impossibile: una struttura che ha un’area finita, ma un perimetro infinito. Questo potrebbe sembrare impossibile da visualizzare, ma in realtà i frattali si verificano frequentemente in natura. Se osservi attentamente le cime di un cavolfiore o i rami di una felce, vedrai che sono entrambi costituiti dalla stessa forma di base che si ripete più e più volte, ma a scale sempre più piccole. Questa è una caratteristica chiave dei frattali. Lo stesso accade se guardi all’interno del tuo stesso corpo: la struttura dei tuoi polmoni, ad esempio, è frattale, così come lo sono i vasi sanguigni nel tuo sistema circolatorio. I frattali sono presenti anche nelle incantevoli opere d’arte ripetute di MC Escher e Jackson Pollock, e sono stati usati per decenni nella tecnologia, come nella progettazione di antenne. Questi sono tutti esempi di frattali classici ovvero frattali che rispettano le leggi della fisica classica piuttosto che della fisica quantistica. È facile capire perché i frattali sono stati usati per spiegare la complessità della coscienza umana. Poiché sono infinitamente intricati, consentendo alla complessità di emergere da semplici schemi ripetuti, potrebbero essere le strutture che supportano le misteriose profondità delle nostre menti. Ma se questo è il caso, potrebbe accadere solo a livello quantistico, con minuscole particelle che si muovono secondo schemi frattali all’interno dei neuroni del cervello. Ecco perché la proposta di Penrose e Hameroff è chiamata teoria della “coscienza quantistica”. C’è un collegamento rigoroso e poetico tra la spirale aurea con la struttura del DNA e con la disposizione delle energie negli spazi “sacri”. Ogni luogo in cui si verifica una perfetta compressione frattale è un punto in cui le linee di forza si armonizzano: è il luogo dove un seme germoglia meglio, dove il corpo guarisce prima, dove l’intuizione si amplifica. Questa scoperta, oggi supportata da modelli di biofisica avanzata, ridefinisce l’architettura, la medicina ambientale e l’ecologia spirituale. Un tempio non è sacro per tradizione, ma perché crea le condizioni geometriche per l’emergere del sacro.

Benoit Mandebrot spiega la geometria frattale

Esempi naturali di geometria frattale

Origine dell'Effetto farfalla

Recorsività e autosimilarità: regole biologiche

Dal Caos all'ordine con i frattali

Doppio pendolo

Attrattori e Repulsori dinamici

Nei sistemi dinamici, un "attrattore strano" è un tipo di attrattore (una regione o forma verso cui i punti vengono "attirati" come risultato di un certo processo) che si verifica in determinati sistemi non lineari ed è caratterizzato dalla sua struttura frattale. A differenza degli attrattori regolari, che possono essere punti, anelli chiusi o forme più complesse ma comunque regolari, un attrattore strano è altamente sensibile a piccole variazioni nelle condizioni iniziali, portando a un comportamento caotico all'interno del sistema ( Schuster 1989, pp. 105-106 ; Strogatz 2018, capitolo 9 ). Il nome fu introdotto nei primi anni '70 da David Ruelle e Floris Takens in un articolo in cui proponevano che la turbolenza dei fluidi fosse un esempio di ciò che oggi chiamiamo caos ( Lorenz 1993, p. 48 ; Ruelle & Takens 1971 ).

L'attrattore strano più famoso è senza dubbio l'attrattore di Lorenz, un oggetto tridimensionale la cui struttura ricorda una farfalla o una maschera. L'attrattore di Lorenz, che prende il nome dal suo scopritore Edward N. Lorenz, è nato da un modello matematico dell'atmosfera (Lorenz 1963).

Immaginate una fetta rettangolare d'aria riscaldata dal basso e raffreddata dall'alto da bordi mantenuti a temperatura costante. Questa è la nostra atmosfera nella sua descrizione più semplice. Il fondo è riscaldato dalla Terra e la parte superiore è raffreddata dal vuoto dello spazio esterno. All'interno di questa fetta, l'aria calda sale e l'aria fredda scende. Lo stato dell'atmosfera in questo modello può essere descritto da tre variabili che evolvono nel tempo.

x = il flusso convettivo
y = la distribuzione orizzontale della temperatura
z = la distribuzione verticale della temperatura

Attrattori

Wikipedia scrive (9/8/25): "Nel campo matematico dei sistemi dinamici, un attrattore è un insieme di stati verso i quali un sistema tende ad evolvere, per un'ampia varietà di condizioni iniziali del sistema. I valori del sistema che si avvicinano sufficientemente ai valori dell'attrattore rimangono vicini anche se leggermente disturbati. Nei sistemi a dimensione finita, la variabile in evoluzione può essere rappresentata algebricamente come un vettore a dimensione n. L'attrattore è una regione nello spazio a dimensione n. Nei sistemi fisici, le dimensioni n possono essere, ad esempio, due o tre coordinate posizionali per ciascuna di una o più entità fisiche; nei sistemi economici, possono essere variabili separate come il tasso di inflazione e il tasso di disoccupazione. Se la variabile in evoluzione è bidimensionale o tridimensionale, l'attrattore del processo dinamico può essere rappresentato geometricamente in due o tre dimensioni. Un attrattore può essere un punto, un insieme finito di punti, una curva , una varietà o persino un insieme complicato con una struttura frattale noto come attrattore strano. Se la variabile è uno scalare , l'attrattore è un sottoinsieme della retta dei numeri reali. Descrivere gli attrattori dei sistemi dinamici caotici è stato uno dei traguardi della teoria del caos. Un sistema dinamico è generalmente descritto da una o più equazioni differenziali o alle differenze. Le equazioni di un dato sistema dinamico ne specificano il comportamento in un dato breve periodo di tempo. Per determinare il comportamento del sistema per un periodo più lungo, è spesso necessario integrare le equazioni, sia attraverso metodi analitici che attraverso iterazioni, spesso con l'ausilio di computer. I sistemi dinamici nel mondo fisico tendono a derivare da sistemi dissipativi : se non fosse per una forza motrice, il moto cesserebbe. (La dissipazione può derivare da attrito interno, perdite termodinamiche o perdita di materiale, tra le molte cause.) La dissipazione e la forza motrice tendono a bilanciarsi, eliminando i transitori iniziali e stabilizzando il sistema nel suo comportamento tipico. Il sottoinsieme dello spazio delle fasi del sistema dinamico corrispondente al comportamento tipico è l'attrattore, noto anche come sezione attrattiva o attratto. Insiemi invarianti e insiemi limite sono simili al concetto di attrattore. Un insieme invariante è un insieme che evolve verso se stesso sotto la dinamica. Gli attrattori possono contenere insiemi invarianti. Un insieme limite è un insieme di punti tale che esista uno stato iniziale che finisce arbitrariamente vicino all'insieme limite (cioè a ciascun punto dell'insieme) con il passare del tempo all'infinito. Gli attrattori sono insiemi limite, ma non tutti gli insiemi limite sono attrattori: è possibile che alcuni punti di un sistema convergano verso un insieme limite, ma punti diversi, se perturbati leggermente al di fuori dell'insieme limite, possono essere allontanati e non tornare mai più nelle vicinanze dell'insieme limite. Gli attrattori sono porzioni o sottoinsiemi dello spazio delle fasi di un sistema dinamico. Fino agli anni '60, gli attrattori erano considerati semplici sottoinsiemi geometrici dello spazio delle fasi, come punti, linee, superfici e regioni semplici dello spazio tridimensionale. Attrattori più complessi che non possono essere classificati come semplici sottoinsiemi geometrici, come gli insiemi topologicamente selvaggi, erano noti all'epoca, ma si pensava fossero anomalie fragili. Stephen Smale fu in grado di dimostrare che la sua mappa a ferro di cavallo era robusta e che il suo attrattore aveva la struttura di un insieme di Cantor. Due attrattori semplici sono un punto fisso e il ciclo limite. Gli attrattori possono assumere molte altre forme geometriche (sottoinsiemi dello spazio delle fasi). Ma quando questi insiemi (o i movimenti al loro interno) non possono essere facilmente descritti come semplici combinazioni (ad esempio intersezione e unione) di oggetti geometrici fondamentali (ad esempio linee, superfici, sfere, toroidi, varietà), allora l'attrattore è chiamato attrattore strano. Inoltre, i sistemi dinamici fisici con almeno un punto fisso hanno invariabilmente più punti fissi e attrattori a causa della realtà della dinamica nel mondo fisico, inclusa la dinamica non lineare di attrito, rugosità superficiale, deformazione (sia elastica che plasticità) e persino meccanica quantistica. Nel caso di una biglia sopra una ciotola capovolta, anche se la ciotola sembra perfettamente emisferica, e la forma sferica della biglia sono entrambe superfici molto più complesse se esaminate al microscopio, e le loro forme cambiano o si deformano durante il contatto. Qualsiasi superficie fisica può essere vista come avente un terreno accidentato con più picchi, valli, punti di sella, creste, burroni e pianure. Ci sono molti punti in questo terreno superficiale (e nel sistema dinamico di una biglia altrettanto ruvida che rotola su questo terreno microscopico) che sono considerati punti stazionari o fissi, alcuni dei quali sono classificati come attrattori. Un ciclo limite è un'orbita periodica di un sistema dinamico continuo isolato. Riguarda un attrattore ciclico. Esempi includono le oscillazioni di un orologio a pendolo e il battito cardiaco a riposo. Il ciclo limite di un pendolo ideale non è un esempio di attrattore di ciclo limite perché le sue orbite non sono isolate: nello spazio delle fasi del pendolo ideale, vicino a qualsiasi punto di un'orbita periodica c'è un altro punto che appartiene a un'orbita periodica diversa, quindi la prima orbita non è attrattiva. Per un pendolo fisico sottoposto ad attrito, lo stato di riposo sarà un attrattore a punto fisso. La differenza con il pendolo a orologio è che in questo caso, l'energia viene iniettata dal meccanismo di scappamento per mantenere il ciclo. Il bacino di attrazione di un attrattore è la regione dello spazio delle fasi, su cui sono definite le iterazioni, in modo tale che qualsiasi punto (qualsiasi condizione iniziale) in quella regione venga asintoticamente iterato nell'attrattore. Per un sistema lineare stabile, ogni punto nello spazio delle fasi si trova nel bacino di attrazione. Tuttavia, nei sistemi non lineari , alcuni punti possono mappare direttamente o asintoticamente all'infinito, mentre altri punti possono trovarsi in un bacino di attrazione diverso e mappare asintoticamente in un attrattore diverso; altre condizioni iniziali possono trovarsi o mappare direttamente in un punto o ciclo non attrattivo.

Repulsori

C'è una curiosa differenza tra attrattori e repulsori. Se due attrattori intrappolati hanno un singolo punto in comune, allora non è difficile vedere che devono essere identici tra loro. Ma i repulsori possono anche essere annidati, uno dentro l'altro. (Figura5).

Figura 5: Il piano per la mappa polinomiale complessa f(z)=z^2-1\ . I punti zero e -1, contrassegnati da punti rossi, formano un'orbita attrattiva di periodo due con bacino attrattivo colorato in grigio. Se compattiamo il piano aggiungendo un punto all'infinito, allora il punto fisso all'infinito è anche un attrattore, con bacino ombreggiato da arancione a verde. Il confine comune di questi due bacini, colorato in nero, è un repulsore chiamato insieme di Julia. Contiene infinite orbite periodiche e ciascuna è anche un repulsore.zF( z) =z2− 1

Conclusioni (provvisorie): Il Caos dell'Universo viene spiegato dall'ordine dei frattali

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Bibliografia (chi fa delle buone letture è meno manipolabile)

John Milnor, Attractor - Scholapedia
Juan Carlos Ponce Campuzano (2018), Strange Attractors
UNIROMA1 (2017), Frattali
I Frattali UNIMI

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Pagina aggiornata il 12 agosto 2025